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初中数学常用公式(中考用)

  中考数学常用公式及性子 1. 乘法与因式分化 ①(a+b)(a-b)=a2-b2;②(a± b)2=a2± 2ab+b2;③(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3; ④(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3;a2+b2=(a+b)2-2ab;(a-b)2=(a+b)2-4ab。 2. 幂的运算性子 ①am× an=am+n;②am÷ an=am-n;③(am)n=amn;④(ab)n=anbn;⑤( )n= ⑥a-n= 1 -n n 0 n ,更加:( ) =( ) ;⑦a =1(a≠0)。 a a b an ; bn 3. 二次根式 ①( )2=a(a≥0);② =丨a丨;③ = × ;④ = (a>0,b≥0)。 4。一元二次方程 对待方程:ax2+bx+c=0: 2 ①求根公式是x= ?b ? b ? 4ac ,此中△ =b2-4ac叫做根的判别式。 2a 当△ >0时,方程有两个不相称的实数根; 当△ =0时,方程有两个相称的实数根; 当△ <0时,方程没有实数根.贯注:当△ ≥0时,方程有实数根。 ②若方程有两个实数根x1和x2,则二次三项式ax2+bx+c可分化为a(x-x1)(x-x2)。 ③以a和b为根的一元二次方程是x2-(a+b)x+ab=0。 ④韦达定理:x1+ x2= ? b a 5。一次函数 x1 x2= c a 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标,称为截距)。 ①当k>0时,y随x的增大而增大(直线从左向右上升); ②当k<0时,y随x的增大而减小(直线从左向右降落); ③更加地:当b=0时,y=kx(k≠0)又叫做正比例函数(y与x成正比例),图象必过原点。 6。反比例函数 反比例函数y= (k≠0)的图象叫做双弧线时,双弧线正在一、三象限(正在每一象限内,从左向右降); ②当k<0时,双弧线正在二、四象限(正在每一象限内,从左向右上升)。 7。二次函数 (1)。界说:普通地,倘若 y ? ax2 ? bx ? c(a, b, c 是常数, a ? 0) ,那么 y 叫做 x 的二次函数。 (2)。扔物线的三因素:启齿偏向、对称轴、极点。 第 1 页 共 9 页 1 ① a 的符号决心扔物线的启齿偏向:当 a ? 0 时,启齿向上;当 a ? 0 时,启齿向下; a 相称,初中数学常用公式(中考用)扔物线的启齿巨细、式样沟通。 ②平行于 y 轴(或重合)的直线记作 x ? h 。更加地, y 轴记作直线)。几种奇特的二次函数的图像特色如下: 函数解析式 启齿偏向 对称轴 x ? 0 ( y 轴) 极点坐标 (0,0) (0, k ) ( h ,0) (h ,k ) (? b 4ac ? b 2 , ) 2a 4a y ? ax2 y ? ax2 ? k 当a ? 0时 启齿向上 当 a ? 0时 启齿向下 x ? 0 ( y 轴) x?h y ? a?x ? h? 2 2 y ? a?x ? h? ? k y ? ax2 ? bx ? c x?h x?? b 2a (4)。求扔物线的极点、对称轴的步骤 b 4ac ? b 2 b ? 4ac ? b 2 ? (? , ) ①公式法: y ? ax ? bx ? c ? a? x ? ? ? ,∴极点是 ,对称轴是 2a 4a 2a ? 4a ? 2 2 直线 x ? ? b 。 2a 2 ②配步骤:操纵配方的步骤,将扔物线的解析式化为 y ? a?x ? h? ? k 的局面,获得极点为 ( h , k ),对称轴是直线 x ? h 。 ③操纵扔物线的对称性: 因为扔物线是以对称轴为轴的轴对称图形, 对称轴与扔物线的交点 是极点。 若已知扔物线 , y)、 ,则对称轴方程能够暗示为: x ? ( x2 , y)(及 y 值沟通) (5)。扔物线 y ? ax ? bx ? c 中, a, b, c 的影响 2 x1 ? x2 2 ① a 决心启齿偏向及启齿巨细,这与 y ? ax2 中的 a 全部雷同。 ② b 和 a 协同决心扔物线对称轴的身分。因为扔物线 ? bx ? c 的对称轴是直线。 b b x ? ? ,故:① b ? 0 时,对称轴为 y 轴;② ? 0 (即 a 、 b 同号)时,对称轴正在 y 轴 2a a b 左侧;③ ? 0 (即 a 、 b 异号)时,对称轴正在 y 轴右侧。 a ③ c 的巨细决心扔物线 ? bx ? c 与 y 轴交点的身分。 当 x ? 0 时, y ? c ,∴扔物线 ? bx ? c 与 y 轴有且惟有一个交点(0, c ) : ① c ? 0 ,扔物线经由原点; ② c ? 0 ,与 y 轴交于正半轴;③ c ? 0 ,与 y 轴交于负半轴。 第 2 页 共 9 页 2 以上三点中,当结论和要求换取时,仍创制。如扔物线的对称轴正在 y 轴右侧,则 (6)。用待定系数法求二次函数的解析式 b ? 0。 a ①普通式: y ? ax2 ? bx ? c 。已知图像上三点或三对 x 、 y 的值,平日选拔普通式。 ②极点式: y ? a?x ? h? ? k 。已知图像的极点或对称轴,平日选拔极点式。 2 ③交点式:已知图像与 x 轴的交点坐标 x1 、 x2 ,平日选用交点式: y ? a?x ? x1 ??x ? x2 ? 。 (7)。直线与扔物线的交点 ① y 轴与扔物线 ? bx ? c 得交点为(0, c )。 ②扔物线与 x 轴的交点。 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x1 、 x2 ,是对应一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的两个实数根。扔物线与 x 轴的交点环境能够由对应的一元二次方程的根的判别 式鉴定: a 有两个交点 ? ( ? ? 0 ) ? 扔物线与 x 轴交友; b 有一个交点(极点正在 x 轴上) ? ( ? ? 0 ) ? 扔物线与 x 轴相切; c 没有交点 ? ( ? ? 0 ) ? 扔物线与 x 轴相离。 ③平行于 x 轴的直线与扔物线的交点 同②雷同不妨有 0 个交点、1 个交点、2 个交点。当有 2 个交点时,两交点的纵坐标相称, 设纵坐标为 k ,则横坐标是 ax2 ? bx ? c ? k 的两个实数根。 ④一次函数 y ? kx ? n?k ? 0? 的图像 l 与二次函数 y ? ax2 ? bx ? c?a ? 0? 的图像 G 的交点,由 方程组 y ? kx ? n y ? ax2 ? bx ? c 的解的数目来确定: a 方程组有两组区别的解时 ? l 与 G 有两个交点; b 方程组惟有一组解时 ? l 与 G 惟有一个交点; c 方程组无解时 ? l 与 G 没有交点。 ⑤ 扔 物 线 与 x 轴 两 交 点 之 间 的 距 离 : 若 扔 物 线 ? bx ? c 与 x 轴 两 交 点 为 A?x1, 0?,B?x2, 0? ,则 AB ? x1 ? x2 8。统计开始 (1)观点:①所要调查的对象的齐备叫做总体,此中每一个调查对象叫做个别.从总体中抽 取的一部份个别叫做总体的一个样本,样本中个别的数目叫做样本容量.②正在一组数据中,出 现次数最众的数(有时不止一个),叫做这组数据的众数.③将一组数据按巨细纪律摆列,把处 正在最中央的一个数(或两个数的均匀数)叫做这组数据的中位数. (2)公式:设有 n 个数 x1,x2,…,xn,那么: ①均匀数为: x = x1 + x2 + 。。。。。。 + xn ; n ②极差:用一组数据的最大值减去最小值所得的差来响应这组数据的蜕变周围,用这种步骤 获得的差称为极差,即:极差=最大值-最小值; 第 3 页 共 9 页 3 ③方差:数据 x1 、 x2 ……, xn 的方差为 s 2 , 2 1轾 x1 - x) + ( 犏 n臌 ④轨范差:方差的算术平方根。 则 s2 = (x 2 - x) + 。。。。。 + 2 (x n - x) 2 数据 x1 、 x2 ……, xn 的轨范差 s , 则s= 2 1轾 x1 - x) + ( 犏 n臌 (x 2 - x) + 。。。。。 + 2 (x n - x) 2 一组数据的方差越大,这组数据的震动越大,越不巩固。 9。频率与概率 (1)频率 频率= 频数 ,各小组的频数之和等于总数,各小组的频率之和等于 1,频率散布直方图中各 总数 个小长方形的面积为各组频率。 (2)概率 ①倘若用 P 暗示一个事故 A 产生的概率,则 0≤P(A)≤1; P(势必事故)=1;P(不不妨事故)=0; ②正在实在情境中剖析概率的事理,操纵陈列法(席卷列外、画树状图)推算简略事故产生的 概率。 ③大批的反复测验时频率可视为事故产生概率的推断值; 10。锐角三角形 ①设∠A是△ ABC的任一锐角,则∠A的正弦:sinA= ∠A的正切:tanA= .而且sin2A+cos2A=1。 ,∠A的余弦:cosA= , 0<sinA<1,0<cosA<1,tanA>0.∠A越大,∠A的正弦和正切值越大,余弦值反而越小。 ②余角公式:sin(90? -A)=cosA,cos(90? -A)=sinA。 ③奇特角的三角函数值:sin30? =cos60? = ,sin45? =cos45? = tan30? = ,tan45? =1,tan60? = 。 h α l ,sin60? =cos30? = , ④斜坡的坡度:i= 铅垂高度 = .设坡角为α,则i=tanα= 。 水准宽度 11。平面直角坐标系中的相闭常识 y 轴对称的点为 P2(-a,b) ,闭于原点对称的点为 P3(-a,-b) 。 (1)对称性:若直角坐标系内一点 P(a,b) ,则 P 闭于 x 轴对称的点为 P1(a,-b) ,P 闭于 (2)坐标平移:若直角坐标系内一点 P(a,b)向左平移 h 个单元,坐标变为 P(a-h,b) , 向右平移 h 个单元,坐标变为 P(a+h,b) ;向上平移 h 个单元,坐标变为 P(a,b+h) ,向 下平移 h 个单元,坐标变为 P(a,b-h)。如:点 A(2,-1)向上平移 2 个单元,再向右平 第 4 页 共 9 页 4 移 5 个单元,则坐标变为 A(7,1) 。 12。众边形内角和公式 众边形内角和公式:n边形的内角和等于(n-2)180? (n≥3,n是正整数),外角和等于360? 13。平行线)平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。 如图:a∥b∥c,直线 永诀与直线 a、b、c 交友与点 A、B、C 和 D、E、F, AB DE AB DE BC EF ? , ? , ? 。 BC EF AC DF AC DF (2)推论:平行于三角形一边的直线截其他双方(或双方的延伸线) ,所得的对应线段成比例。 如 图 : △ ABC 中 , DE∥BC , DE 与 AB 、 AC 相 交 与 点 D 、 E , 则 有 : AD AE AD AE DE DB EC ? , ? ? , ? DB EC AB AC BC AB AC 则有 l1 A B C l2 D E F A E A D a b c B C B C D E 14。直角三角形中的射影定理 直角三角形中的射影定理:如图:Rt△ ABC 中,∠ACB=90o,CD⊥AB 于 D, 则有: (1) CD2 ? AD ? BD (2) AC 2 ? AD ? AB (3) BC 2 ? BD ? AB 15。圆的相闭性子 A C D B (1)垂径定理:倘若一条直线具备以下五性格子中的轻易两性格子:①经由圆心;②笔直弦; ③均分弦;④均分弦所对的劣弧;⑤均分弦所对的优弧,那么这条直线就具有其余三性格 质.注:具备①,③时,弦不行是直径。 (2)两条平行弦所夹的弧相称。 (3)圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 (4)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 (5)圆周角等于它所对的弧的度数的一半。 (6)同弧或等弧所对的圆周角相称。 (7)正在同圆或等圆中,相称的圆周角所对的弧相称。 (8)90? 的圆周角所对的弦是直径,反之,直径所对的圆周角是90? ,直径是最长的弦。、 (9)圆内接四边形的对角互补。 16。三角形的本质、外心、重心 (1)三角形的内切圆的圆心叫做三角形的本质.三角形的本质便是三内角角均分线)三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心.三角形的外心便是三边中垂线的交点. 常睹结论: ①Rt△ ABC 的三条边永诀为: a、 b、 c (c 为斜边) , 则它的内切圆的半径 r ? 1 S ? lr 2 ②△ABC 的周长为 l ,面积为 S,其内切圆的半径为 r,则 a?b?c ; 2 (3)三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。重心分中线。弦切角定理及其推论 (1) 弦切角:极点正在圆上, 而且一边和圆交友, 另一边和圆相切的角叫做弦切角。 如图: ∠PAC 为弦切角。 (2)弦切角定理:弦切角度数等于它所夹的弧的度数的一半。 B 1 1 AC ? ?AOC A 倘若 AC 是⊙O 的弦,PA 是⊙O 的切线,A 为切点,则 ?PAC ? ? 2 2 O 推论:弦切角等于所夹弧所对的圆周角(影响声明角相称) 倘若 AC 是⊙O 的弦,PA 是⊙O 的切线,A 为切点,则 ?PAC ? ?ABC C P 18。面积公式 ①S正△ = × (边长)2. ⑧ S扇形 ? n? r 2 1 ? lr 360 2 ②S平行四边形=底× 高. ③S菱形=底× (对角线 ④ S梯形 ? (上底 ? 下底) ? 高 ? 中位线. ⑨S圆柱侧=底面周长× 高=2πrh, S悉数积=S侧+S底=2πrh+2πr2 ⑩S圆锥侧= × 底面周长× 母线=πrb, S悉数积=S侧+S底=πrb+πr2 ⑥l圆周长=2πR. ⑦弧长L= . 几何定理 1 过两点有且惟有一条直线 两点之间线 同角或等角的补角相称 4 同角或等角的余角相称 5 过一点有且惟有一条直线 直线外一点与直线上各点毗邻的全面线 平行正理 经由直线外一点,有且惟有一条直线 倘若两条直线都和第三条直线平行,这两条直线 同位角相称,两直线 内错角相称,两直线 同旁内角互补,两直线 两直线 两直线 两直线 定理 三角形双方的和大于第三边 16 推论 三角形双方的差小于第三边 第 6 页 共 9 页 6 17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 180° 18 推论 1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论 2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论 3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相称 22 边角边正理(SAS) 有双方和它们的夹角对应相称的两个三角形全等 23 角边角正理( ASA)有两角和它们的夹边对应相称的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和此中一角的对边对应相称的两个三角形全等 25 边边边正理(SSS) 有三边对应相称的两个三角形全等 26 斜边、直角边正理(HL) 有斜边和一条直角边对应相称的两个直角三角形全等 27 定理 1 正在角的均分线上的点到这个角的双方的间隔相称 28 定理 2 到一个角的双方的间隔沟通的点,正在这个角的均分线 角的均分线是到角的双方间隔相称的全面点的群集 30 等腰三角形的性子定理 等腰三角形的两个底角相称 (即等边对等角) 31 推论 1 等腰三角形顶角的均分线均分底边而且笔直于底边 32 等腰三角形的顶角均分线、底边上的中线和底边上的高彼此重合 33 推论 3 等边三角形的各角都相称,而且每一个角都等于 60° 34 等腰三角形的鉴定定理 倘若一个三角形有两个角相称,那么这两个角所对的边也相称(等角对等边) 35 推论 1 三个角都相称的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形 37 正在直角三角形中,倘若一个锐角等于 30° 那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线 定理 线段笔直均分线上的点和这条线段两个端点的间隔相称 40 逆定理 和一条线段两个端点间隔相称的点,正在这条线 线段的笔直均分线可看作和线段两头点间隔相称的全面点的群集 42 定理 1 闭于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 倘若两个图形闭于某直线对称,那么对称轴是对应点连线 两个图形闭于某直线对称,倘若它们的对应线段或延伸线交友,那么交点正在对称轴上 45 逆定理 倘若两个图形的对应点连线被统一条直线笔直均分,那么这两个图形闭于这条直线 勾股定理 直角三角形两直角边 a、b 的平方和、等于斜边 c 的平方,即 a^2+b^2=c^2 47 勾股定理的逆定理 倘若三角形的三边长 a、b、c 相闭系 a^2+b^2=c^2 ,那么这个三角形是直角三角形 48 定理 四边形的内角和等于 360° 49 四边形的外角和等于 360° 50 众边形内角和定理 n 边形的内角的和等于(n-2)×180° 51 推论 轻易众边的外角和等于 360° 52 平行四边形性子定理 1 平行四边形的对角相称 53 平行四边形性子定理 2 平行四边形的对边相称 54 推论 夹正在两条平行线 平行四边形性子定理 3 平行四边形的对角线 平行四边形鉴定定理 1 两组对角永诀相称的四边形是平行四边形 57 平行四边形鉴定定理 2 两组对边永诀相称的四边形是平行四边形 58 平行四边形鉴定定理 3 对角线彼此均分的四边形是平行四边形 59 平行四边形鉴定定理 4 一组对边平行相称的四边形是平行四边形 60 矩形性子定理 1 矩形的四个角都是直角 61 矩形性子定理 2 矩形的对角线 有三个角是直角的四边形是矩形 第 7 页 共 9 页 7 63 矩形鉴定定理 2 对角线相称的平行四边形是矩形 64 菱形性子定理 1 菱形的四条边都相称 65 菱形性子定理 2 菱形的对角线彼此笔直,而且每一条对角线 菱形面积=对角线乘积的一半,即 S=(a×b)÷ 2 67 菱形鉴定定理 1 四边都相称的四边形是菱形 68 菱形鉴定定理 2 对角线彼此笔直的平行四边形是菱形 69 正方形性子定理 1 正方形的四个角都是直角,四条边都相称 70 正方形性子定理 2 正方形的两条对角线相称,而且彼此笔直均分,每条对角线 闭于核心对称的两个图形是全等的 72 定理 2 闭于核心对称的两个图形,对称点连线都经由对称核心,而且被对称核心均分 73 逆定理 倘若两个图形的对应点连线都经由某一点,而且被这一 点均分,那么这两个图形闭于这一点对称 74 等腰梯形性子定理 等腰梯形正在统一底上的两个角相称 75 等腰梯形的两条对角线 等腰梯形鉴定定理 正在统一底上的两个角相称的梯形是等腰梯形 77 对角线相称的梯形是等腰梯形 78 平行线平分线段定理 倘若一组平行线正在一条直线上截得的线段 相称,那么正在其他直线 经由梯形一腰的中点与底平行的直线 经由三角形一边的中点与另一边平行的直线 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,而且等于它 的一半 82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底,而且等于两底和的 一半 L=(a+b)÷ 2 ; S=L×h 83 (1)比例的根本性子 倘若 a!b=c!d,那么 ad=bc 倘若 ad=bc,那么 a!b=c!d 84 (2)合比性子 倘若 a/b=c/d,那么(a± b)/b=(c± d)/d 85 (3)等比性子 倘若 a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么 (a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b 86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应 线 推论 平行于三角形一边的直线截其他双方(或双方的延伸线) ,所得的对应线 定理 倘若一条直线截三角形的双方(或双方的延伸线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三 角形的第三边 89 平行于三角形的一边,而且和其他双方交友的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 90 定理 平行于三角形一边的直线和其他双方(或双方的延伸线)交友,所组成的三角形与原三角形相像 91 相像三角形鉴定定理 1 两角对应相称,两三角形相像(ASA) 92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相像 93 鉴定定理 2 双方对应成比例且夹角相称,两三角形相像(SAS) 94 鉴定定理 3 三边对应成比例,两三角形相像(SSS) 95 定理 倘若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三 角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相像 96 性子定理 1 相像三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平 分线 相像三角形周长的比等于相像比 98 性子定理 3 相像三角形面积的比等于相像比的平方 99 轻易锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,轻易锐角的余弦值等 于它的余角的正弦值 100 轻易锐角的正切值等于它的余角的余切值,轻易锐角的余切值等 于它的余角的正切值 101 圆是定点的间隔等于定长的点的群集 102 圆的内部能够看作是圆心的间隔小于半径的点的群集 103 圆的外部能够看作是圆心的间隔大于半径的点的群集 104 同圆或等圆的半径相称 第 8 页 共 9 页 8 105 到定点的间隔等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半 径的圆 106 和已知线段两个端点的间隔相称的点的轨迹,是着条线 到已知角的双方间隔相称的点的轨迹,是这个角的均分线 到两条平行线间隔相称的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距 离相称的一条直线 定理 不正在同无间线上的三点确定一个圆。 110 垂径定理 笔直于弦的直径均分这条弦而且均分弦所对的两条弧 111 推论 1 ①均分弦(不是直径)的直径笔直于弦,而且均分弦所对的两条弧 ②弦的笔直均分线经由圆心,而且均分弦所对的两条弧 ③均分弦所对的一条弧的直径,笔直均分弦,而且均分弦所对的另一条弧 112 推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相称 113 圆是以圆心为对称核心的核心对称图形 114 定理 正在同圆或等圆中,相称的圆心角所对的弧相称,所对的弦 相称,所对的弦的弦心距相称 115 推论 正在同圆或等圆中,倘若两个圆心角、两条弧、两条弦或两 弦的弦心距中有一组量相称那么它们所 对应的其余各组量都相称 116 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 117 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相称;同圆或等圆中,相称的圆周角所对的弧也相称 118 推论 2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90° 的圆周角所 对的弦是直径 119 推论 3 倘若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 120 定理 圆的内接四边形的对角互补,而且任何一个外角都等于它 的内对角 121①直线 L 和⊙O 交友 d<r ②直线 L 和⊙O 相切 d=r ③直线 L 和⊙O 相离 d>r 122 切线的鉴定定理 经由半径的外端而且笔直于这条半径的直线 切线的性子定理 圆的切线笔直于经由切点的半径 124 推论 1 经由圆心且笔直于切线 经由切点且笔直于切线 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相称, 圆心和这一点的连线均分两条切线 圆的外切四边形的两组对边的和相称 128 定理 把圆分成 n(n≥3)! ⑴顺序纠合各分点所得的众边形是这个圆的内接正 n 边形 ⑵经由各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为极点的众边形是这个圆的外切正 n 边形 129 定理 任何正众边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是一心圆 130 正 n 边形的每个内角都等于(n-2)×180° /n 131 定理 正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形 132 弧长推算公式:L=n 兀 R/180 133 扇形面积公式:S 扇形=n 兀 R^2/360=LR/2 第 9 页 共 9 页 9

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